李雅普诺夫：逐梦唯美天空的俄罗斯数学家(2)

值得称赞的是，李雅普诺夫1916年发表的两篇论文，应用数学工具证明了各种平衡问题的存在，并给出了一些新的平衡形状方程的构造模型。

在他死后的手稿“On Some Balanced Shapes of Non-uniform Rotating Liquid Masses”中，已经证明任何非分支的麦克劳林椭球或雅可比椭球都可以演化成新的平衡形状。 , 与原始形状相似，角速度保持不变，但其密度呈现微弱变化。

对随机世界的求真解释

在概率论领域，李雅普诺夫继承和发扬了切比雪夫的概率思想，创立了特征函数法来证明中心极限定理，并实现了概率论极限定理研究方法的理论改革奠定了现代概率论的基础。

基于拉普拉斯概率论，切比雪夫对中心极限定理进行了研究。他将局域理论应用于概率论的研究，构造了矩量法来证明极限定理。

李雅普诺夫对中心极限定理也很感兴趣，并尽力寻找更一般的定理条件和更简洁的定理证明，即应用特征函数来证明中心极限定理。因为相互独立的随机变量和分布是每个加性项的分布的卷积，当加性项的数量趋于无穷大时，在数学上处理卷积就比较困难。李雅普诺夫突破了这个难点，特征函数成为极限分布的研究。入口点。

特征函数法为研究独立随机变量和的极限分布提供了一种简单而强大的工具。它已成为解决随机变量求和问题的基本方法之一。主要原因是：

1）特征函数法对条件要求较低。对于任何随机变量，特征函数都存在，特征函数也可以用来确定分布函数的阶矩（如果存在）。

2）特征函数法保留了随机变量分布规律的全部信息，而矩法丢失了部分信息。

3) 随机变量的矩是否存在，其分布函数可由特征函数唯一确定。同时，给出了特征函数与分布函数收敛特征的一一对应关系。

4) 独立随机变量和的特征函数等于相应随机变量的特征函数的乘积。

在1900年发表的一篇论文中，李雅普诺夫证明了中心极限定理。证明方法类似于目前在素数论中使用的方法。唯一的要求是有第三个矩，这避免了矩方法。需要高阶矩存在的苛刻条件。

在 1901 年发表的一篇论文中，李雅普诺夫再次试图弱化定理的条件。后来李雅普诺夫在两篇短文中指出，定理的条件可以进一步“推广”。

正是灵活运用了特征函数的性质，使得李雅普诺夫成功地证明了给定的中心极限定理。

他用特征函数准确地描述了中心极限定理的条件，并第一次科学地解释了大多数随机变量近似服从正态分布的原因：现实世界中，它们是大量相互独立的随机变量的总和，并且每个随机变量的影响很小。

另外，这个随机变量之和的分布可以是任意的概率分布，这种类型的随机变量在实际问题中经常出现。

与更一般的中心极限定理相比，李雅普诺夫定理更容易验证。例如，当随机变量序列的密度函数未知时，只需要随机变量的两个数值特征。

李雅普诺夫在证明过程中构建的独特的新方法为概率极限理论的研究打开了新的窗口，实现了概率分析方法的重大创新，为进一步精确研究概率极限理论奠定了基础。极限定理的理论基础。

李雅普诺夫经常沉迷于科学问题，追求科学的完美，创立了运动稳定性理论和旋转液体质量平衡形状理论，探索了概率论的中心极限定理等一系列其他深刻的数学力学主题。

特别值得称道的是，李雅普诺夫创立的稳定性理论在理论研究和实际应用中都具有重要的指导作用，引领控制系统理论，特别是非线性系统的稳定性近半个世纪.性研究方向。

天地间飞翔的双翼

时光飞逝，李雅普诺夫夫妇过了银婚纪念日，二人前往瑞士。不幸的是，娜塔莉亚在旅途中。感染了当时无法治愈的肺病。

1913年，李雅普诺夫和他的妻子来到敖德萨。经过一段时间的细致治疗和温暖照顾，娜塔莉亚的病情略有好转。 1917年春，李雅普诺夫一家前往芬兰休养，6月再次来到敖德萨。

娜塔莉亚的病情越来越严重。她一直处于昏迷状态，一次又一次地倒下。为了购买高价药品，李雅普诺夫为敖德萨国立大学做了一场关于“天体的形状”的讲座。 1918 年 10 月 28 日，李雅普诺夫发表了他的第七次演讲。得知心爱的妻子病危后，他立即向观众道歉并回家。最后，娜塔莉亚在李雅普诺夫的怀里平静地离开了。

李雅普诺夫心烦意乱，无法接受这个残酷的现实。他用手枪将扳??机扣在胸前。 1918 年 11 月 3 日，尽管家人努力营救，李雅普诺夫还是和他心爱的妻子一起去了。这是俄罗斯版的《蝴蝶恋人》。

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